Задание в Chrome DevTools:

Зайдите на страницу https://authenticationtest.com/simpleFormAuth/
нажмите F12, чтобы открыть консоль разработчика
Выберите сверху вкладку «Network»
На пару строк ниже вы увидите All — нажмите, если это значение не выбрано
Вернитесь в окно сайта, справа введите данные для входа → нажмите Login
Вернитесь в консоль разработчика 
Слева вы увидите запросы, которые вызывались по порядку
Слева выберите запрос ?mode=simpleFormAuth
Справа во вкладке Headers вы увидите в заголовках ответа (Response Headers ) сайт установил вам куки Set-Cookie:
(это пример) PHPSESSID=1f5qhfrlse6f84sefhuovctp2; path=/; secure; HttpOnly
Убедитесь в этом, вернувшись на сайт и перейдя в раздел Auth Menu
Справа сверху вы увидите, что кнопка log in поменялась — вы залогинены на сайте.
 

На какую надпись поменялась надпись на кнопке Log in?

Sign Out

Signout

Sign In